대화중에 나타난 의문

아는 지인분이랑 msn으로 이 얘기 저 얘기 하는 중에

문든 건내주신 한마디.

'가로가 6, 세로가 6인 정사각형이 있어.

 이 정사각형의 둘레는 24이고, 넓이는 36이야.

 그런데말야. 가로 8에 세로 4짜리 직사각형이 있어.

 역시 둘레가 24야. 하지만 넓이는 32이지.

 난 도대체 왜 넓이가 차이가 나는지 이해가 안가.'

그 이야기를 들으니,

'오오?! 진짜다?!' 싶었죠.

대충 그림 그려보자면 이런 식인 겁니다.

그림으로 그리고 보니 뭔가 더더욱 신기했죠.

이게 도대체 어떻게 된 일일까..

재미있는건, 저렇게 나오는게 맞다는 거죠.

다시 그림으로 그려가며 생각해 봤습니다.

직사각형을 두 덩어리로 나누어 본 겁니다. 정사각형의 가로는 6이었으므로, 

쉽게 비교해 보기 위해 가로를 6으로 맞춰 잘라본 거죠. 

그렇게 되면 6x4짜리 덩어리 하나, 2x4짜리 덩어리 하나가 생겨 납니다. - ①

그리고 이걸 아래처럼 붙여봤습니다.

이렇게 해 보니, 부족한 공간이 드러나버렸습니다.

에~ 둘레가 분명 같았었는데, 넓이가 저리 차이가 나네요.

호오. 

그러다가, 넓이랑 둘레랑 비례한다는 생각을 너무 무조건 믿으면 안될 것 같다는 생각이 들었습니다.

둘레야 어떻게든 '특정 길이의 면만 있으면' 충족 될 수 있다는 게 개인적으로 느껴졌습니다.

무슨 말이냐면, 

'부족'이라고 써 놓은 사각형을 보면, 왼쪽과 위쪽 면이 반대쪽 면과 맞닿아있죠?

저 면의 길이가 원래의 도형의 둘레에 더해지기 때문에 둘레의 값은 변하지 않게 됩니다.

그치만 넓이로 봤을때 분명히 '부족한 부분'이 생기기 때문에 값이 달라져 버리네요.

....반대로 생각해서, 

넓이 36인 정사각형을 세로길이를 4로 맞추어서 잘라보죠. 

그렇게 되면 6x4짜리 덩어리와 나머지 6x2짜리 덩어리가 생기게 된다는 겁니다.  - ②

위에 적어놓은 ①과 ②를 비교해 보면, 6x4의 덩어리를 제외한 나머지 덩어리에서 

넓이 차이가 난다는 것을 알 수 있습니다. (①에선 4x2, ②에선 6x2)

즉, 

왜 두 도형의 둘레가 같은데 넓이는 정사각형 쪽이 크냐, 고 물으신다면

그냥 '크니까요.'라고 답 할 수 밖에 없겠네요. '~'a

그러다가, 

'넓이가 같은 두 도형은 둘레가 어떨까..'라는 생각도 들었습니다.

그래서 이것도 그림으로 그려봤어요.

넓이는 2로, 한 도형은 직사각형으로, 한 도형은 정사각형으로 그려봤습니다.

대충 이런 식으로 나오겠죠.

가로 2에 세로 1인 직사각형은 넓이가 2, 둘레가 6이 될 겁니다.

아래의 정사각형은 가로 √2에 세로√2이고, 때문에 넓이가 2이겠죠. 

그런데 어째서인지 둘레는 4√2, 즉 약 5.414가 된다...

둘레가 줄었다, 는 겁니다.

그러니까, 대충 이런 정리를 해 봤습니다.

1. 두 사각형이 같은 둘레일 때, 정사각형일 수록 넓이가 넓어진다.

2. 두 사각형이 같은 넓이일 때, 직사각형일 수록 둘레가 길어진다.

(사각형으로 제한을 둔건,

 '두 도형이 같은 둘레일 때 가장 넓은 도형은

 원에 가까운 도형의 쪽이라는걸 알고 있기 때문이다.)

......어?

잠깐만.

원과 가장 가까운 도형은 직사각형보다는 정사각형의 쪽입니다.

그림에서도 정사각형 쪽이 넓이가 컸습니다.

아.

그러니까 넓이가 넓었던 것이었군요. '~'ㅋ

우앙~

 아무튼 꽤나 재미있는 의문이었습니다. '~'

.....근데, 뭐, 

왜 직사각형보다 정사각형이 더 넓은지와 관련해선

'원과 가장 비슷해서'라는 답보다

다른 답을 듣고싶어지네요...

아, 아니.

당초 지금 잠에 취해서 쓰고 있는지라, 

이해하고 있으면서 모르고 있는건가 ㅋㅋㅋㅋ

'~'ㅋㅋㅋㅋ

아무튼

재미있는 놀이~